私の場合ですが転入届を出して児童扶養手当と児童手当の申請しました。

１からではなく書類に新しい住所と振込口座の番号書いただけでした。

光熱費の明細書もっていってません。

明細書はいらないですよ。

転出届を出す際に、全部役所で順番に手続きできるように誘導されます。

児童手当はご主人の口座に入金されてる場合は、ご主人の「受け取りを母親に変えます」的な手続きがあります。

同じように転入届けを出す際に、児童扶養手当や医療費免除などの申請も誘導されます。

５月に引っ越しなら6月までは手当は出ないのでは？

児童手当も扶養手当も4ヶ月に1回の振込ですよね？

住宅のことも含め1度市役所に電話してみるといいかもしれません。

都営住宅に住んでますが扶養手当のことは聞かれてません。

年末の申請の時も特には聞かれませんでした。扶養手当は今もう受給してるのであれば4月に出ると思います。児童手当は次は6月ですね。